미적분학의 기초(Introduction to Calculus) by 밝히리 3

1.

1-1. 도함수의 계산

 

도함수의 계산은 미분계수를 계산하는 방법과 거의 같다.

미분계수는 어떤 점에서의 접선의 기울기이지만

도함수는 x에서의 접선의 기울기라는 것만 이해하자.

 

1-2. 함수의 연속성과 미분 가능성

 

연속함수이면 다 미분가능할까? 답은 아니다.

미분가능한 함수는 영어로 diffenetiable function이라고 한다.

미분 가능한 함수는 연속함수 중에서 그래프가 매끈한 함수(smooth function)이다.

그렇기에 미분가능한 함수는 연속함수이다.

 

1-2 도함수의 성질

 

1-2-1. 미분법

 

도함수를 규하는 규칙이 미분법이다. 미분법을 이용하면 훨씬 빠르게 도함수를 구할 수 있다. 

나는 뭣도 모르고 공식만을 쓰고 있었다...

 

 

 

다항함수의 도함수를 구학는 일반적인 방법이다.

 

연쇄공식이라고 불리며, 위의 두 식은 같은 식이다.

 

2.

 

2-1. 접선의 기울기와 도함수

 

정의를 이용하여 직접 미분계수를 계산하거나

미분법을 이용하여 도함수를 구하고, 도함수를 통해 미분계수를 구하는 방법.

 

 

2-2. 미분과 근사.

 

 

 

x의 변화량이 0에 가까워 질 때, 변DH아 변BH가 거의 같아짐(근사)을 이용하여 y의 변화량을 구할  수 있다.

약간의 오차가 있지만, x의 변화량이 작을수록, 미분을 이용한 근사는 실제 y의 변화량의 값에 가까워진다.

 

분수는 아니지만, 미분을 이용하여 근사값을 구할 때의 공식은 마치 분수를 다루는 것처럼 보여진다.

 

2-3. 음함수의 미분법

 

같은 함수를 놓고도 y =으로 시작하는 함수를 양함수라고 하고

한 변으로 모아 놓은 것을 음함수라고 한다.

어떤 의미가 다른 것일지 감은 오지 않지만 일단 기억해 놓는다.

 

y=으로 되어 있는 양함수는 한 변에 몰아 있는 x에 대해 미분하면서 함수의 접선의 기울기, 변화량에 대해 알 수 있다.

음함수의 경우, x로 미분할 경우, y는 합성함수의 꼴이 되므로, 합성함수의 미분법을 이용하여 한다.

 

두 미분의 값은 변수만 다르지 사실 같은 식이 된다. 어느쪽으로 몰아서 하든 상관은 없다.

 

하지만 이런 경우라면? 물론 양함수를 통해 구할 수 있겠지만, 음함수의 미분법을 알고 있다면 고생할 필요가 없다.

보는 관점의 차이가 이렇게 크고 무섭다.

 

 

3-1. 함수의 극대와 극소

 

일반적으로 미분가능한 함수가 극대 또는 극소를 가질 때, 그 점에서 접선의 기울기는 0이 된다.

접선의 기울기가 0이된다는 말이 새롭게 다가온다.

변화하기 위해서는 일단 멈춰야 한다.

멈추지 않으면 변화할 수 없다.