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기저 함수, 기저 벡터... 도대체 무엇을 말하는 건가요? - GpgStudy 포럼
수학, 물리학 등 게임 프로그래밍의 기반이 되는 이론에 관한 포럼입니다. 운영자: 류광 Tears of Chobo 전체글 글쓴이: Tears of Chobo » 2003-12-06 21:41 3D플밍수학책을 보면 기저(Basis)라는 말이 심심치 않게 들립니다. 뜻을 보자면 기초라는 뜻인데.. 기초 함수, 기초 벡터... 왠지 맘에 닫지 않는군요. 기저의 정확한 정의를 알고 싶습니다... 기초가 부족한 저에게 기저(Basis)를 내려주십시오... 전외솔
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수학을 잘 모르지만, 이해가 확 되서 가져왔다.
habilmu님의 글을 퍼왔습니다.
기저벡터란?
*** 1차원 직선을 가지고 생각해봅시다.
중학교 때 실수의 연속성을 배웠습니다.
1차원의 기저벡터는 1입니다.
거기에 무리수와 유리수을 곱하면 1차원 직선에 해당하는 모든 점들을 만들어 낼 수 있습니다.
*** 2차원 평면을 가지고 생각해봅시다.
이젠 1차원 직선과 평행하지 않는 다른 1차원 직선을 2차원 평면상에 만들어 냅니다.
이때 첫번째 직선의 1차원 기저벡터와 두번째 직선의 1차원 기저벡터가 각각 2차원의 기저벡터가 됩니다.
일반적으로 직교좌표계에서는 x,y축의 단위벡터입니다.
그런데 여기서 일반적으로 사용하는 직교좌표계로 평면상의 모든 점을 결정할 수 있듯이
직교좌표계가 아닌 일반좌표계(첫번째 직선과 두번째 직선의 교차각이 90도가 아닌 경우)에서도 2차원
평면상의 모든 점을 결정할 수 있습니다.
*** 3차원 공간을 가지고 생각해봅시다.
이젠 첫번째 직선과 두번째 직선이 있는 평면에 나란하지 않고 그 평면과 교차하는 직선을 만들어 낼 수
있습니다. 그럼 그 직선의 모든 점을 결정할 수 있는 단위벡터를 만들어 낼 수 있습니다.
그럼 2차원과 마찬가지로 3차원 상의 모든 점들은 이들 세개의 단위벡터을 이용해서 결정할 수 있습니다.
*** n차원 n차공간을 가지고 생각해봅시다.
4차원의 경우 매우 상상해 내기 어렵지만 앞서 직선을 만들어 냈듯이 3차원 공간과 평행하지 않고
3차원 공간과 교차하는 새로운 직선을 만들어 내고 그 직선의 단위벡터를 만들어 냅니다. 그럼 총 4개의
단위 벡터로 4차원공간상의 모든 점을 결정할 수 있습니다. 이와같이 n차원으로 확대해가면 거기에
해당하는 n개의 단위벡터를 결정할 수 있으며 그것을 이용해서 n차 공간의 모든 점을 결정할 수 있습니다.
이처럼 단위 벡터란 1,2,3,...,n 차 공간상의 한 점을 결정하는데 사용하는 서로 연관되지 않는(수학용어로
서로 독립하는) 벡터들을 말합니다. 이 벡터들로 할 수 있는 것은 1,2,3,..,n 차 공간의 모든 점들을 표현할 수 있습니다.
1차원의 경우 가능한 단위 벡터집합은 총 2개입니다. +1,-1
2차원의 경우 가능한 단위 벡터집합은 총 4개 (2*2) 입니다. +1,+1 혹은 +1,-1 혹은 -1,+1 혹은 -1,-1
3차원의 경우 가능한 단위 벡터집합은 총 8개(2*2*2)입니다. +1,+1,+1 혹은 ......혹은 -1,-1,-1
n차원의 경우 가능한 단위 벡터집합은 총 2^n 개 입니다.
* 기저함수란?
기저벡터--공간데이터개념
기저함수--Operation 혹은 작용의 최소단위, 질량을 가진 물체(기저벡터로 표현된)에 어떤 행위를 가해야지 그 물체가 동작(Operation ,액션)을 합니다. 그럼 그 동작을 물리적으로 분석하기 위해서 복잡하게 이루어진 행위를 기본이 되는 간단한 행위로 분해합니다. 그때 그 간단한 행위(더 이상 분석,분해되지 않는 행위)를 표현하는 함수를 의미하는 개념
음..암튼 어떤 물체의 운동방정식이 예를 들어 삼각함수*로그함수*복잡한 방정식...으로 표현된다면 이것을 n차 다항식으로 분해할 수 있습니다. 여기서 주로 테일러 전개를 사용합니다. 암튼 보통 전개된 테일러 함수는 무한차원 함수 이지만 현실적으로 무한 차원을 모두 계산할 수 없기 때문에 오차가 만족되는 범위 내에서 다항식을 근사화시킵니다. 그렇게 운동방정식을 간단히 표현해 냅니다. 여기서 나타났던 n차 다항식에서 각 다항식에 계수를 뺀 차수 부분을 기저함수라고도 합니다.
정리하면
*기저벡터는 공간상의 한 점(데이터)를 표현하기 위한 기본적인 숫자들의 집합이고 그것을 이용해서 공간상의 모든점을 표현할 수 있습니다.
*기저함수는 공간상에서 일어나는 운동을 표현하기 위한 기본적인 함수들의 집합이고 그것을 이용해서 공간상에서 일어나는 모든 운동을 표현할 수 있습니다.(물론 근사화 해서 사용합니다.테일러 전개는 그런 방법중에 하나입니다.)
휴 답변이 되었나 모르겠네요..그럼
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